Fractions ( भिन्न ) || [ Addition | subtraction | multiplication

भिन्न वह संख्या होती है जो किसी पूरे भाग का प्रतिनिधित्व करती है। गणित में भिन्न हमें यह मापने में मदद करती है कि किसी वस्तु के कितने भाग हैं और प्रत्येक भाग का आकार कितना है।

आइए उदाहरणों के साथ भिन्नों को पढ़ना सीखें।

1.भिन्न सदैव धनात्मक होती हैं, अर्थात अंश और हर धनात्मक पूर्णांक होते हैं।

2.किसी भिन्न में हर कभी शून्य नहीं हो सकता।

भिन्न के प्रकार

भिन्नों के कई प्रकार हैं लेकिन सामान्यतः प्रयुक्त होने वाले भिन्नों के दस प्रकार हैं:

1. इकाई अंश: वह भिन्न जिसका अंश एक हो तथा हर कोई भी धनात्मक पूर्णांक हो, इकाई भिन्न कहलाती है।

उदाहरण

$\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{7}$ , $\frac{1}{61}$ आदि
$\frac{1}{4}$ , अंश 1 और हर 4 है जो एक धनात्मक पूर्णांक है।

2. समान भिन्न:जिन भिन्नों का हर समान होता है उन्हें समान भिन्न कहते हैं।

उदाहरण

$\frac{1}{9}$ , $\frac{2}{9}$ , $\frac{7}{9}$ आदि।
तो, उपरोक्त अंश $\frac{1}{9}$ , $\frac{2}{9}$ और $\frac{7}{9}$ इनका हर समान है अर्थात 9, इसलिए ये भिन्न जैसे हैं।

3. असमान भिन्न:जिन भिन्नों के हर भिन्न होते हैं उन्हें असमान भिन्न कहते हैं।

उदाहरण

$\frac{7}{9}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{6}{11}$ , $\frac{5}{8}$ आदि।
तो, उपरोक्त अंश $\frac{7}{9}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{6}{11}$ और $\frac{5}{8}$ इनके हर अलग-अलग हैं अर्थात् क्रमशः 9, 4, 11 और 8, इसलिए ये असमान भिन्न हैं।

4. सरल भिन्न:वह भिन्न जिसके दोनों पद पूर्णांक हों, सरल भिन्न कहलाती है।

उदाहरण

$\frac{4}{7}$ , $\frac{3}{5}$ आदि।

5. जटिल भिन्न:वह भिन्न जिसके एक या दोनों पद भिन्नात्मक संख्याएँ हों, सम्मिश्र भिन्न कहलाती है

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$

यहां पर $\frac{a}{b}$ और $\frac{c}{d}$ दोनों भिन्न हैं और पूरे रूप में यह जटिल भिन्न कहलाता है।

जटिल भिन्न को सरल बनाने के कुछ कदम:

सबसे पहले भिन्न के हर और अंश में जो भी भिन्न हैं, उन्हें साधारण रूप में बदलें।
जटिल भिन्न के अंश और हर को आपस में गुणा करके सुलझा सकते हैं।

उदाहरण

\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}

6. दशमलव अंश:वे भिन्न जिनके हर 10, 100, 1000 आदि हैं, दशमलव भिन्न हैं।

उदाहरण

$\frac{3}{10}$ , $\frac{11}{1000}$ आदि।

7. अश्लील अंश:अश्लील अंश" (Improper Fraction) वह भिन्न होते हैं, जिनमें अंश (numerator) हर (denominator) से बड़ा या बराबर होता है। इसे साधारण शब्दों में ऐसे भिन्न कहा जा सकता है जिसमें अंश हर से अधिक हो।

\frac{5}{3}, \frac{7}{4}, \frac{9}{8}

यह सभी अश्लील अंश हैं क्योंकि अंश हर से बड़ा या बराबर है।

अश्लील अंश को मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction) में भी बदला जा सकता है। मिश्रित भिन्न में पूरा भाग (Whole number) और भिन्न दोनों होते हैं।

उदाहरण

\frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}

यहां $\frac{7}{3}$ एक अश्लील अंश है, जिसे मिश्रित भिन्न में बदला गया है।

8. उचित अंश:वह भिन्न जिसका अंश धनात्मक हो तथा हर से छोटा भी हो, उचित भिन्न कहलाती है।

उदाहरण

$\frac{7}{12}$ , $\frac{19}{21}$ आदि।

9. अनुचित अंश:वह भिन्न जिसका अंश उसके हर से बड़ा हो, अनुचित भिन्न कहलाती है।

उदाहरण

$\frac{11}{5}$ , $\frac{85}{21}$ आदि।

10. मिश्रित अंश:वह भिन्न जो पूर्णांक और उचित भिन्न के संयोजन के रूप में व्यक्त की जाती है, मिश्रित भिन्न कहलाती है।

उदाहरण

$2 \frac{3}{5}$ यहाँ 2 पूर्णांक भाग को दर्शाता है और $\frac{3}{5}$ उचित अंश का प्रतिनिधित्व करता है.

समतुल्य भिन्न क्या है?

दो या दो से अधिक भिन्नों को समतुल्य तब कहा जाता है जब अंश और हर को एक ही शून्येतर धनात्मक संख्या से गुणा करने पर मूल भिन्न प्राप्त हो।

उदाहरण

आइये एक उदाहरण लेते हैं $\frac{1}{3}$ और $\frac{3}{9}$
अंश और हर दोनों को 1 से गुणा करें :
$\frac{1}{3} \times \frac{1}{1} = \frac{1}{3}$
अंश और हर दोनों को 2 से गुणा करें:
$\frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{2}{6}$
अंश और हर दोनों को 3 से गुणा करें:
$\frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{9}$
यहाँ $\frac{1}{3}$ के बराबर हो जाता है $\frac{3}{9}$ 3 से गुणा करने पर. अत:, $\frac{1}{3}$ और $\frac{3}{9}$ समतुल्य भिन्न हैं।

भिन्न का जोङ(sum of fractions)

भिन्नों का जोड़ तब किया जाता है जब दो या दो से अधिक भिन्नों को एक साथ जोड़ने की आवश्यकता होती है। भिन्नों को जोड़ने के लिए सबसे पहले उनके हर (denominator) को समान बनाना पड़ता है। यदि दोनों भिन्नों का हर पहले से ही समान है, तो अंशों (numerator) को सीधे जोड़ सकते हैं। अगर हर अलग-अलग है, तो पहले उनका समान हर (LCM) निकालना पड़ता है, फिर दोनों भिन्नों को उस समान हर पर लाकर अंशों को जोड़ते हैं।

भिन्न के जोड़ का तरीका:

1- समान हर वाले भिन्नों के लिए:

यदि दोनों भिन्नों का हर (denominator) समान है, तो सिर्फ अंशों (numerators) को जोड़ें और हर को वही रहने दें।

उदाहरण-1:

$\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3 + 2}{5} = \frac{5}{5}$

उदाहरण-2:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

पहले दोनों का हर बराबर करते हैं: 6

$\frac{1}{2} = \frac{3}{6},$

$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$

अब जोड़ें: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

2- अलग-अलग हर वाले भिन्नों के लिए:

सबसे पहले दोनों भिन्नों का समान हर (LCM) निकालें।फिर दोनों भिन्नों को उस समान हर पर लाकर अंशों को जोड़ें।

उदाहरण-1:

$\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{2 + 3}{5} = \frac{5}{5}$

उदाहरण-2:

$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4}$

उदाहरण-3:

$\frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \frac{3 + 4}{7} = \frac{7}{7}$

उदाहरण-4:

$\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6}$

प्रश्नावली 1:भिन्न के जोड़

प्रश्न 01: $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = ?$ प्रश्न 02: $\frac{7}{9} + \frac{2}{9} = ?$

प्रश्न 03: $\frac{5}{8} + \frac{3}{8} = ?$ प्रश्न 04: $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = ?$

प्रश्न 05: $\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = ?$ प्रश्न 06: $\frac{3}{4} + \frac{5}{4} = ?$

प्रश्न 07: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = ?$ प्रश्न 08: $\frac{5}{12} + \frac{7}{12} = ?$

प्रश्न 09: $\frac{3}{10} + \frac{2}{10} = ?$ प्रश्न 10: $\frac{4}{5} + \frac{1}{5} = ?$

प्रश्न 11: $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = ?$ प्रश्न 12: $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = ?$

प्रश्न 13: $\frac{3}{5} + \frac{1}{3} = ?$ प्रश्न 14: $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = ?$

प्रश्न 15: $\frac{4}{7} + \frac{2}{7} = ?$ प्रश्न 16: $\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = ?$

प्रश्न 17: $\frac{7}{10} + \frac{3}{10} = ?$ प्रश्न 18: $\frac{5}{6} + \frac{2}{3} = ?$

प्रश्न 19: $\frac{1}{5} + \frac{4}{15} = ?$ प्रश्न 20: $\frac{2}{11} + \frac{3}{11} = ?$

प्रश्नावली 1: उत्तरमाला

प्रश्न 01: $\frac{4}{5}$ प्रश्न 02: $1$ प्रश्न 03: $1$

प्रश्न 04: $2$ प्रश्न 05: $\frac{1}{2}$ प्रश्न 06: $2$

प्रश्न 07: $1$ प्रश्न 08: $1$ प्रश्न 09: $\frac{1}{2}$

प्रश्न 10: $1$ प्रश्न 11: $\frac{5}{7}$ प्रश्न 12: $\frac{3}{4}$

प्रश्न 13: $\frac{14}{15}$ प्रश्न 14: $\frac{7}{9}$ प्रश्न 15: $\frac{6}{7}$

प्रश्न 16: $\frac{1}{2}$ प्रश्न 17: प्रश्न 18: $1 \frac{1}{2}$

प्रश्न 19: $\frac{7}{15}$ प्रश्न 20: $\frac{5}{11}$

भिन्न का घटाना (Subtraction of Fractions)

भिन्न का घटाना तब किया जाता है जब हमें दो भिन्नों को एक दूसरे से घटाना होता है। इस प्रक्रिया में दो भिन्नों का हर और हर को समान बनाना आवश्यक होता है ताकि घटाना सरल हो।

प्रश्न हल करने के तरीके (Methods of solving the question)

1- समान हर बनाना (Finding the LCM of Denominators)

सबसे पहले, दोनों भिन्नों के हर (denominators) का सबसे छोटा समानांक (LCM) निकाला जाता है। यह LCM दोनों भिन्नों के हर का सबसे छोटा सामान्य गुणज (least common multiple) होता है।

2- भिन्नों को समान हर में परिवर्तित करना (Convert Fractions to Like Denominators)

अब, दोनों भिन्नों को समान हर में बदलते हैं। इसके लिए, प्रत्येक भिन्न के अंश (numerator) को LCM से गुणा किया जाता है, और हर को LCM से विभाजित किया जाता है।

3- घटाना (Subtracting the Numerators)

अब, दोनों भिन्नों के अंशों को घटाते हैं और परिणामस्वरूप भिन्न प्राप्त करते हैं।

4- सरलीकरण (Simplifying the Fraction)

अंत में, अगर परिणामस्वरूप भिन्न को और सरल किया जा सकता है, तो उसे सरल कर लें।

घटाने का तरीका उदाहरण सहित (Subtraction Method with Example)

उदाहरण 1: $\frac{3}{5} - \frac{1}{2}$

Step-1: सबसे पहले, हरों का LCM निकालते हैं। 5 और 2 का LCM 10 है।

5 = 1 X 5

10 = 2 X 5

------------------

LCM=2X5=10

---------------------

Step-2: अब दोनों भिन्नों को समान हर में बदलते हैं:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}$ $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$

Step-3:अब अंशों को घटाते हैं:

परिणामस्वरूप $= \frac{1}{10}$

उदाहरण 2: $\frac{4}{3} - \frac{7}{9}$

Step-1:सबसे पहले, हरों का LCM निकालते हैं। 3 और 9 का LCM 9 है।

3 = 1 X 3

9 = 3 X 3

------------------

LCM=3X3= 9

---------------------

Step-2:अब, $\frac{4}{3}$ को 9 के हर में बदलते हैं:

$\frac{4}{3} = \frac{4 \times 3}{3 \times 3} = \frac{12}{9}$

Step-3:अब अंशों को घटाते हैं:

$\frac{12}{9} - \frac{7}{9} = \frac{12 - 7}{9} = \frac{5}{9}$

परिणामस्वरूप $= \frac{5}{9}$

घटाने के सामान्य नियम (General Rules for Subtracting Fractions)

1.समान हर होने पर: जब दोनों भिन्नों का हर समान हो, तो हम केवल अंशों को घटाते हैं।

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

2.असमान हर होने पर: यदि हर समान नहीं होते, तो पहले LCM निकालकर हर समान करें, फिर घटाएं।

$\frac{a}{c} - \frac{b}{d} = \frac{ad - bc}{cd}$

3.घटाने के बाद सरलीकरण: जब भिन्नों का उत्तर मिल जाए, तो उसे सरलतम रूप में व्यक्त करें।

प्रश्नावली 2:भिन्न का घटाना

प्रश्न-1: $\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = ?$ प्रश्न-2: $\frac{7}{12} - \frac{5}{12} = ?$

प्रश्न-3: $\frac{9}{10} - \frac{2}{5} = ?$ प्रश्न-4: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = ?$

प्रश्न-5: $\frac{11}{15} - \frac{7}{15} = ?$ प्रश्न-6: $\frac{5}{9} - \frac{2}{3} = ?$

प्रश्न-7: $\frac{8}{11} - \frac{3}{11} = ?$ प्रश्न-8: $\frac{4}{7} - \frac{1}{14} = ?$

प्रश्न-9: $\frac{7}{8} - \frac{5}{8} = ?$ प्रश्न-10: $\frac{12}{20} - \frac{5}{10} = ?$

प्रश्न-11: $\frac{3}{5} - \frac{2}{5} = ?$ प्रश्न-12: $\frac{6}{7} - \frac{2}{7} = ?$

प्रश्न-13: $\frac{9}{16} - \frac{5}{16} = ?$ प्रश्न-14: $\frac{13}{18} - \frac{7}{18} = ?$

प्रश्न-15: $\frac{5}{6} - \frac{2}{3} = ?$ प्रश्न-16: $\frac{8}{9} - \frac{4}{9} = ?$

प्रश्न-17: $\frac{17}{20} - \frac{9}{20} = ?$ प्रश्न-18: $\frac{5}{12} - \frac{1}{4} = ?$

प्रश्न-19: $\frac{7}{15} - \frac{2}{5} = ?$ प्रश्न-20: $\frac{10}{14} - \frac{4}{7} = ?$

प्रश्नावली 2: उत्तरमाला

प्रश्न-1: $\frac{1}{4}$ प्रश्न-2: $\frac{1}{6}$ प्रश्न-3: $\frac{1}{2}$

प्रश्न-4: $\frac{1}{4}$ प्रश्न-5: $\frac{4}{15}$ प्रश्न-6: $\frac{- 1}{9}$

प्रश्न-7: $\frac{5}{11}$ प्रश्न-8: $\frac{1}{2}$ प्रश्न-9: $}$

प्रश्न-10: $\frac{1}{10}$ प्रश्न-11: $\frac{1}{5}$ प्रश्न-12: $\frac{4}{7}$

प्रश्न-13: $\frac{1}{4}$ प्रश्न-14: $\frac{1}{3}$ प्रश्न-15: $\frac{1}{6}$

प्रश्न-16: $\frac{4}{9}$ प्रश्न-17: $\frac{2}{5}$ प्रश्न-18: $\frac{1}{6}$

प्रश्न-19: $\frac{1}{15}$ प्रश्न-20: $\frac{1}{7}$

भिन्न का गुणा(Multiplication of fractions)

भिन्न का गुणा बहुत सरल होता है। इसे करने के लिए आपको निम्नलिखित स्टेप्स का पालन करना होता है:

1- सबसे पहले, अंश(numerator) का गुणा अंश और हर(denominator) का गुणा हर से करते है

2- फिर, गुणा किए गए अंश और हर को लिखें।

3- सरलतम रूप में देने के लिए अंश और हर का सामान्य गुणांक (common factor) से भाग करें।

गुणा करने की प्रक्रिया:
$\frac{A}{B} \times \frac{X}{Y} = \frac{A \times X}{B \times Y}$

1- समान भिन्नों का गुणा:

जैसे: $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{2 \times 4} = \frac{3}{8}$

2- असमान भिन्नों का गुणा:

जैसे: $\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{3 \times 2}{5 \times 7} = \frac{6}{35}$

3- कठिन भिन्नों का गुणा:
यदि भिन्नों में कोई यथार्थांक (decimal) हो, तो पहले उसे भिन्न के रूप में बदलें और फिर गुणा करें।
जैसे: $1.5 \times 2 = \frac{3}{2} \times 2 = \frac{6}{2} = 3$

4-साधारण रूप में लिखना:
गुणा करने के बाद अगर अंश और हर का कोई सामान्य गुणांक हो, तो उसे निकालकर सबसे सरल रूप में लिखें।
जैसे: $\frac{8}{12}$ को $\frac{2}{3}$ में बदलना।

प्रश्नावली 3:भिन्न का गुणा

प्रश्न-1: $\frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = ?$ प्रश्न-2: $\frac{7}{8} \times \frac{1}{3} = ?$

प्रश्न-3: $\frac{5}{6} \times \frac{4}{7} = ?$ प्रश्न-4: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = ?$

प्रश्न-5: $\frac{9}{10} \times \frac{5}{9} = ?$ प्रश्न-6: $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = ?$

प्रश्न-7: $\frac{3}{5} \times \frac{5}{8} = ?$ प्रश्न-8: $\frac{4}{9} \times \frac{3}{4} = ?$

प्रश्न-9: $\frac{7}{12} \times \frac{6}{7} = ?$ प्रश्न-10: $\frac{11}{13} \times \frac{3}{5} = ?$

प्रश्न-11: $\frac{2}{5} \times \frac{7}{8} = ?$ प्रश्न-12: $\frac{3}{4} \times \frac{2}{9} = ?$

प्रश्न-13: $\frac{5}{6} \times \frac{9}{10} = ?$ प्रश्न-14: $\frac{4}{7} \times \frac{5}{6} = ?$

प्रश्न-15: $\frac{1}{3} \times \frac{4}{5} = ?$ प्रश्न-16: $\frac{6}{11} \times \frac{5}{7} = ?$

प्रश्न-17: $\frac{7}{13} \times \frac{2}{5} = ?$ प्रश्न-18: $\frac{3}{8} \times \frac{6}{11} = ?$

प्रश्न-19: $\frac{4}{9} \times \frac{5}{12} = ?$ प्रश्न-20: $\frac{8}{15} \times \frac{3}{4} = ?$

प्रश्नावली 3: उत्तरमाला

प्रश्न-1: $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ प्रश्न-2: $\frac{7}{24}$ प्रश्न-3: $\frac{20}{42} = \frac{10}{21}$

प्रश्न-4: $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ प्रश्न-5: $\frac{45}{90} = \frac{1}{2}$ प्रश्न-6: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

प्रश्न-7: $\frac{15}{40} = \frac{3}{8}$ प्रश्न-8: $\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ प्रश्न-9: $\frac{42}{84} = \frac{1}{2}$

प्रश्न-10: $\frac{33}{65}$ प्रश्न-11: $\frac{14}{40} = \frac{7}{20}$ प्रश्न-12: $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

प्रश्न-13: $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ प्रश्न-14: $\frac{20}{42} = \frac{10}{21}$ प्रश्न-15: $\frac{4}{15}$

प्रश्न-16: $\frac{30}{77}$ प्रश्न-17: $\frac{14}{65}$ प्रश्न-18: $\frac{18}{88} = \frac{9}{44}$

प्रश्न-19: $\frac{20}{108} = \frac{5}{27}$ प्रश्न-20: $\frac{24}{60} = \frac{2}{5}$

भिन्न का भाग(Division of fraction)

भिन्न का भाग तब होता है जब हम दो भिन्नों को एक-दूसरे से विभाजित करते हैं। भिन्न का भाग करते समय हमें पहले दूसरे भिन्न का पलट (reciprocal) लेना होता है और फिर उसे पहले भिन्न से गुणा करना होता है।

1-भिन्न का पलट (Reciprocal): किसी भिन्न के पलट को हम उसे उल्टा करके लिखते हैं। उदाहरण के लिए, अगर हमारे पास भिन्न $\frac{a}{b}$ है, तो इसका पलट $\frac{b}{a}$ होगा।

2-भाग करने के बाद गुणा: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

उदाहरण-1: $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$

Step-1: पहले $\frac{2}{5}$ का पलट लें: $\frac{5}{2}$

Step-2:अब गुणा करें: $\frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \frac{15}{8}$

उत्तर: $\frac{15}{8}$

उदाहरण-1:

Step-1: पहले $\frac{3}{4}$ का पलट लें: $\frac{4}{3}$

Step-2: अब गुणा करें: $\frac{7}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{7 \times 4}{8 \times 3} = \frac{28}{24} = \frac{7}{6}$

उत्तर: $\frac{7}{6}$

टिप्स और ट्रिक्स:

1-पलट को याद रखें: भिन्न का भाग करते समय सबसे महत्वपूर्ण कदम है पलट लेना। बिना पलट के आप सही उत्तर नहीं प्राप्त कर सकते।

2-गुणा करते समय सरल करें: पहले भिन्नों को सरल करें, जैसे कि बड़े अंशों और हरों को उनके सामान्य गुणज से घटाना।

3-अंश और हर का सामान्य गुणज (LCM) देखें: अगर आपको दो भिन्नों का भाग करना हो, तो गुणन के बाद उन दोनों को साधारण रूप में सरल करना न भूलें।

4-दिशा से न डरें: पहले भिन्न का पलट लें, फिर जोड़ या गुणा का अनुसरण करें, और परिणाम हमेशा सरल रूप में व्यक्त करें।

प्रश्नावली 4:भिन्न का भाग

प्रश्न-1: $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = ?$ प्रश्न-2: $\frac{7}{8} \div \frac{1}{3} = ?$

प्रश्न-3: $\frac{5}{6} \div \frac{4}{7} = ?$ प्रश्न-4: $\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} = ?$

प्रश्न-5: $\frac{9}{10} \div \frac{5}{9} = ?$ प्रश्न-6: $\frac{1}{2} \div \frac{2}{3} = ?$

प्रश्न-7: $\frac{3}{5} \div \frac{5}{8} = ?$ प्रश्न-8: $\frac{4}{9} \div \frac{3}{4} = ?$

प्रश्न-9: $\frac{7}{12} \div \frac{6}{7} = ?$ प्रश्न-10: $\frac{11}{13} \div \frac{3}{5} = ?$

प्रश्न-11: $\frac{2}{5} \div \frac{7}{8} = ?$ प्रश्न-12: $\frac{3}{4} \div \frac{2}{9} = ?$

प्रश्न-13: $\frac{5}{6} \div \frac{9}{10} = ?$ प्रश्न-14: $\frac{4}{7} \div \frac{5}{6} = ?$

प्रश्न-15: $\frac{1}{3} \div \frac{4}{5} = ?$ प्रश्न-16: $\frac{6}{11} \div \frac{5}{7} = ?$

प्रश्न-17: $\frac{7}{13} \div \frac{2}{5} = ?$ प्रश्न-18: $\frac{3}{8} \div \frac{6}{11} = ?$

प्रश्न-19: $\frac{4}{9} \div \frac{5}{12} = ?$ प्रश्न-20: $\frac{8}{15} \div \frac{3}{4} = ?$

प्रश्नावली 4: उत्तरमाला

प्रश्न-1: $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$ प्रश्न-2: $\frac{7}{8} \div \frac{1}{3} = \frac{7}{8} \times \frac{3}{1} = \frac{21}{8}$ प्रश्न-3: $\frac{5}{6} \div \frac{4}{7} = \frac{5}{6} \times \frac{7}{4} = \frac{35}{24}$

प्रश्न-4: $\frac{8}{9}$ प्रश्न-5: $\frac{9}{10} \div \frac{5}{9} = \frac{9}{10} \times \frac{9}{5} = \frac{81}{50}$ प्रश्न-6: $\frac{1}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

प्रश्न-7: $\frac{3}{5} \div \frac{5}{8} = \frac{3}{5} \times \frac{8}{5} = \frac{24}{25}$ प्रश्न-8: $\frac{4}{9} \div \frac{3}{4} = \frac{4}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{16}{27}$ प्रश्न-9: $\frac{7}{12} \div \frac{6}{7} = \frac{7}{12} \times \frac{7}{6} = \frac{49}{72}$

प्रश्न-10: $\frac{11}{13} \div \frac{3}{5} = \frac{11}{13} \times \frac{5}{3} = \frac{55}{39}$ प्रश्न-11: $\frac{2}{5} \div \frac{7}{8} = \frac{2}{5} \times \frac{8}{7} = \frac{16}{35}$ प्रश्न-12: $\frac{3}{4} \div \frac{2}{9} = \frac{3}{4} \times \frac{9}{2} = \frac{27}{8}$

प्रश्न-13: $\frac{5}{6} \div \frac{9}{10} = \frac{5}{6} \times \frac{10}{9} = \frac{50}{54} = \frac{25}{27}$ प्रश्न-14: $\frac{24}{35}$ प्रश्न-15: $\frac{1}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{12}$

प्रश्न-16: $\frac{6}{11} \div \frac{5}{7} = \frac{6}{11} \times \frac{7}{5} = \frac{42}{55}$ प्रश्न-17: $\frac{7}{13} \div \frac{2}{5} = \frac{7}{13} \times \frac{5}{2} = \frac{35}{26}$ प्रश्न-18: $\frac{3}{8} \div \frac{6}{11} = \frac{3}{8} \times \frac{11}{6} = \frac{33}{48} = \frac{11}{16}$

प्रश्न-19: $\frac{4}{9} \div \frac{5}{12} = \frac{4}{9} \times \frac{12}{5} = \frac{48}{45} = \frac{16}{15}$ प्रश्न-20: $\frac{8}{15} \div \frac{3}{4} = \frac{8}{15} \times \frac{4}{3} = \frac{32}{45}$

जरूर पढ़िए :

[i] Factors ( गुणनखंड ) from 1 to 1000

[ii] H.C.F. {Highest Common Factor}

[iii] L.C.M. { Least Common Multiple }

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Fractions ( भिन्न ) || [ Addition | subtraction | multiplication | division ]

आइए उदाहरणों के साथ भिन्नों को पढ़ना सीखें।

1.भिन्न सदैव धनात्मक होती हैं, अर्थात अंश और हर धनात्मक पूर्णांक होते हैं।

2.किसी भिन्न में हर कभी शून्य नहीं हो सकता।

भिन्न के प्रकार

भिन्नों के कई प्रकार हैं लेकिन सामान्यतः प्रयुक्त होने वाले भिन्नों के दस प्रकार हैं:

2. समान भिन्न:जिन भिन्नों का हर समान होता है उन्हें समान भिन्न कहते हैं।

3. असमान भिन्न:जिन भिन्नों के हर भिन्न होते हैं उन्हें असमान भिन्न कहते हैं।

4. सरल भिन्न:वह भिन्न जिसके दोनों पद पूर्णांक हों, सरल भिन्न कहलाती है।

5. जटिल भिन्न:वह भिन्न जिसके एक या दोनों पद भिन्नात्मक संख्याएँ हों, सम्मिश्र भिन्न कहलाती है

abcd​​

6. दशमलव अंश:वे भिन्न जिनके हर 10, 100, 1000 आदि हैं, दशमलव भिन्न हैं।

8. उचित अंश:वह भिन्न जिसका अंश धनात्मक हो तथा हर से छोटा भी हो, उचित भिन्न कहलाती है।

9. अनुचित अंश:वह भिन्न जिसका अंश उसके हर से बड़ा हो, अनुचित भिन्न कहलाती है।

10. मिश्रित अंश:वह भिन्न जो पूर्णांक और उचित भिन्न के संयोजन के रूप में व्यक्त की जाती है, मिश्रित भिन्न कहलाती है।

समतुल्य भिन्न क्या है?

भिन्न का जोङ(sum of fractions)

भिन्न के जोड़ का तरीका:

यदि दोनों भिन्नों का हर (denominator) समान है, तो सिर्फ अंशों (numerators) को जोड़ें और हर को वही रहने दें।

उदाहरण-1:

35+25=3+25=55

उदाहरण-2:

12+13

पहले दोनों का हर बराबर करते हैं: 6

12=36,

13=26

अब जोड़ें: 36+26=56 ​ ​

2- अलग-अलग हर वाले भिन्नों के लिए:

सबसे पहले दोनों भिन्नों का समान हर (LCM) निकालें।फिर दोनों भिन्नों को उस समान हर पर लाकर अंशों को जोड़ें।

उदाहरण-1:

25+35=2+35=55

उदाहरण-2:

14+34=1+34=44

उदाहरण-3:

37+47=3+47=77

उदाहरण-4:

56+16=5+16=66

प्रश्न 01: 35+15=? प्रश्न 02: 79+29=?

प्रश्न 03: 58+38=? प्रश्न 04: 23+43=?

प्रश्न 05: 16+26=? प्रश्न 06: 34+54=?

प्रश्न 07: 13+23=? प्रश्न 08: 512+712=?

प्रश्न 09: 310+210=? प्रश्न 10: 45+15=?

प्रश्न 11: 27+37=? प्रश्न 12: 14+12=?

प्रश्न 13: 35+13=? प्रश्न 14: 29+59=?

प्रश्न 15: 47+27=? प्रश्न 16: 38+18=?

प्रश्न 17: 710+310=? प्रश्न 18: 56+23=?

प्रश्न 19: 15+415=? प्रश्न 20: 211+311=?

प्रश्नावली 1: उत्तरमाला

प्रश्न 01: 45 ​ प्रश्न 02: 1 प्रश्न 03: 1

प्रश्न 04: 2 प्रश्न 05: 12 ​ प्रश्न 06: 2

प्रश्न 07: 1 प्रश्न 08: 1 प्रश्न 09: 12

प्रश्न 10: 1 प्रश्न 11: 57 ​ प्रश्न 12: 34

प्रश्न 13: 1415 प्रश्न 14: 79 प्रश्न 15: 67 ​

प्रश्न 16: 12 प्रश्न 17: ​ 1 प्रश्न 18: 112 ​

प्रश्न 19: 715 ​ प्रश्न 20: 511

भिन्न का घटाना (Subtraction of Fractions)

1- समान हर बनाना (Finding the LCM of Denominators)

2- भिन्नों को समान हर में परिवर्तित करना (Convert Fractions to Like Denominators)

3- घटाना (Subtracting the Numerators)

अब, दोनों भिन्नों के अंशों को घटाते हैं और परिणामस्वरूप भिन्न प्राप्त करते हैं।

4- सरलीकरण (Simplifying the Fraction)

अंत में, अगर परिणामस्वरूप भिन्न को और सरल किया जा सकता है, तो उसे सरल कर लें।

उदाहरण 1: 35−12 ​

Step-1: सबसे पहले, हरों का LCM निकालते हैं। 5 और 2 का LCM 10 है।

5 = 1 X 5

10 = 2 X 5

------------------

LCM=2X5=10

---------------------

Step-2: अब दोनों भिन्नों को समान हर में बदलते हैं:

35=3×25×2=610 ​ 12=1×52×5=510 ​

​Step-3:अब अंशों को घटाते हैं:

610−510 =6−510 =110

परिणामस्वरूप=110 ​

उदाहरण 2: 43−79 ​

​Step-1:सबसे पहले, हरों का LCM निकालते हैं। 3 और 9 का LCM 9 है।

3 = 1 X 3

9 = 3 X 3

------------------

LCM=3X3= 9

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$

$\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3 + 2}{5} = \frac{5}{5}$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

$\frac{1}{2} = \frac{3}{6},$

$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$

अब जोड़ें: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

$\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{2 + 3}{5} = \frac{5}{5}$

$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4}$

$\frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \frac{3 + 4}{7} = \frac{7}{7}$

$\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6}$

प्रश्न 01: $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = ?$ प्रश्न 02: $\frac{7}{9} + \frac{2}{9} = ?$

प्रश्न 03: $\frac{5}{8} + \frac{3}{8} = ?$ प्रश्न 04: $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = ?$

प्रश्न 05: $\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = ?$ प्रश्न 06: $\frac{3}{4} + \frac{5}{4} = ?$

प्रश्न 07: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = ?$ प्रश्न 08: $\frac{5}{12} + \frac{7}{12} = ?$

प्रश्न 09: $\frac{3}{10} + \frac{2}{10} = ?$ प्रश्न 10: $\frac{4}{5} + \frac{1}{5} = ?$

प्रश्न 11: $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = ?$ प्रश्न 12: $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = ?$

प्रश्न 13: $\frac{3}{5} + \frac{1}{3} = ?$ प्रश्न 14: $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = ?$

प्रश्न 15: $\frac{4}{7} + \frac{2}{7} = ?$ प्रश्न 16: $\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = ?$

प्रश्न 17: $\frac{7}{10} + \frac{3}{10} = ?$ प्रश्न 18: $\frac{5}{6} + \frac{2}{3} = ?$

प्रश्न 19: $\frac{1}{5} + \frac{4}{15} = ?$ प्रश्न 20: $\frac{2}{11} + \frac{3}{11} = ?$

प्रश्न 01: $\frac{4}{5}$ प्रश्न 02: $1$ प्रश्न 03: $1$

प्रश्न 04: $2$ प्रश्न 05: $\frac{1}{2}$ प्रश्न 06: $2$

प्रश्न 07: $1$ प्रश्न 08: $1$ प्रश्न 09: $\frac{1}{2}$

प्रश्न 10: $1$ प्रश्न 11: $\frac{5}{7}$ प्रश्न 12: $\frac{3}{4}$

प्रश्न 13: $\frac{14}{15}$ प्रश्न 14: $\frac{7}{9}$ प्रश्न 15: $\frac{6}{7}$

प्रश्न 16: $\frac{1}{2}$ प्रश्न 17: प्रश्न 18: $1 \frac{1}{2}$

प्रश्न 19: $\frac{7}{15}$ प्रश्न 20: $\frac{5}{11}$

उदाहरण 1: $\frac{3}{5} - \frac{1}{2}$

$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}$ $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$

Step-3:अब अंशों को घटाते हैं:

परिणामस्वरूप $= \frac{1}{10}$

उदाहरण 2: $\frac{4}{3} - \frac{7}{9}$

Step-1:सबसे पहले, हरों का LCM निकालते हैं। 3 और 9 का LCM 9 है।

Step-2:अब, $\frac{4}{3}$ को 9 के हर में बदलते हैं:

$\frac{4}{3} = \frac{4 \times 3}{3 \times 3} = \frac{12}{9}$

Step-3:अब अंशों को घटाते हैं:

$\frac{12}{9} - \frac{7}{9} = \frac{12 - 7}{9} = \frac{5}{9}$

परिणामस्वरूप $= \frac{5}{9}$

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

$\frac{a}{c} - \frac{b}{d} = \frac{ad - bc}{cd}$

गुणा करने की प्रक्रिया:
$\frac{A}{B} \times \frac{X}{Y} = \frac{A \times X}{B \times Y}$

जैसे: $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{2 \times 4} = \frac{3}{8}$

2- असमान भिन्नों का गुणा:

जैसे: $\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{3 \times 2}{5 \times 7} = \frac{6}{35}$

2-भाग करने के बाद गुणा: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

उदाहरण-1: $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$

Step-1: पहले $\frac{2}{5}$ का पलट लें: $\frac{5}{2}$

Step-2:अब गुणा करें: $\frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \frac{15}{8}$

उत्तर: $\frac{15}{8}$

उदाहरण-1:

Step-1: पहले $\frac{3}{4}$ का पलट लें: $\frac{4}{3}$

Step-2: अब गुणा करें: $\frac{7}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{7 \times 4}{8 \times 3} = \frac{28}{24} = \frac{7}{6}$

उत्तर: $\frac{7}{6}$