औसत || Average

आज हम "औसत" यानी Average के बारे में विस्तार से और आसान शब्दों में समझेंगे।
औसत का मतलब रोज़मर्रा की ज़िंदगी में बहुत जरूरी है — जैसे किसी छात्र के नंबर का औसत, किसी टीम का रन औसत, घर के खर्च का औसत आदि।

🔍 औसत क्या है? 

औसत का अर्थ है —
सभी संख्याओं का बराबर बंटवारा।
यानी जब हम कई संख्याओं का योग निकालते हैं और उसे संख्याओं की गिनती से भाग देते हैं, तो जो मान निकलता है उसे औसत कहते हैं।

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📝 औसत की परिभाषा 

सरल परिभाषा:
जब एक समूह की सभी चीजों का जोड़ किया जाता है और उसे उन चीजों की कुल संख्या से भाग दिया जाता है, तो जो मान प्राप्त होता है वही औसत कहलाता है।

👉 औसत का फॉर्मूला:

$$\text{औसत} = \frac{\text{सभी मानों का योग}}{\text{मानों की कुल संख्या}}$$

 

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📏 औसत कैसे निकालें? 

1️⃣ सभी संख्याओं को जोड़ लीजिए।
2️⃣ जितनी संख्याएं हैं, उसकी गिनती कर लीजिए।
3️⃣ दोनों का भाग कीजिए।

उदाहरण:
अगर 5 छात्रों के अंक हैं: 60, 70, 80, 90, 100
तो,
औसत = $\frac{60+70+80+90+100}{5} = \frac{400}{5} = 80$

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🔢 औसत के सूत्र (Formula of Average)

सामान्य औसत का फॉर्मूला:

$$\text{Average} = \frac{\text{Total Sum of Quantities}}{\text{Number of Quantities}}$$

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विशेष बातें:

• यदि सभी संख्याएं बराबर हैं, तो औसत भी वही संख्या होगी।
• औसत हमेशा बीच का मान बताता है।
  

 

📌 औसत के महत्वपूर्ण सूत्र

🔹 1. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत

$$\text{औसत} = \frac{n + 1}{2}$$

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 🔹 2. लगातार n पूर्ण संख्याओं का औसत

$$\text{औसत} = \frac{\text{पहली संख्या + अंतिम संख्या}}{2}$$

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🔹 3. n तक की सम संख्याओं का औसत

$$\text{औसत} = \frac{n + 2}{2}$$

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🔹 4. लगातार n तक की विषम संख्याओं का औसत

$$\text{औसत} = \frac{n + 1}{2}$$

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🔹 5. n तक विषम संख्याओं का औसत

$$\text{औसत} = n$$

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🔹 6. लगातार n तक सम संख्याओं का औसत

$$\text{औसत} = n + 1$$

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🔹 7. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत

$$\text{औसत} = \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6}$$

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🔹 8. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत

$$\text{औसत} = \frac{n(n + 1)^2}{4}$$

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💡 औसत से जुड़ी विशेष ट्रिक्स

1️⃣ यदि n क्रमागत सम या विषम संख्याओं का औसत $x$ हो —
👉 सबसे छोटी संख्या = $x\text{–}(n\text{–}1)$
👉 सबसे बड़ी संख्या = $x+(n\text{–}1)$

 

2️⃣ किसी संख्या x के लगातार n गुणजों का औसत

$$\text{औसत} = x \times \frac{(n + 1)}{2}$$

3️⃣ दो समूहों $n_{\mathrm{1 }}$ और $n_2$ के औसत क्रमशः $x_1$ और $x_2$ हों —
कुल औसत:

$$= \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2}{n_1 + n_2}$$

4️⃣ यदि n वस्तुओं का औसत $x$ है और एक नई वस्तु जोड़ी जाए, औसत $y$ बन जाए:
👉 नई वस्तु का मान:

$$= n(y - x) + y$$

5️⃣ यदि कोई वस्तु हटाई जाए और नया औसत $y$ हो जाए:
👉 हटाई गई वस्तु का मान:

$$= n(x - y) + y$$

6️⃣ औसत चाल निकालने का फॉर्मूला:

$$= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$$

7️⃣ संख्याओं का अंतर बराबर हो तो औसत:

$$= \frac{\text{पहली संख्या + अंतिम संख्या}}{2}$$

8️⃣ यदि $G_1$ और $G_2$ राशियों का औसत क्रमशः $A_1$ और $A_2$ हो —
👉 दोनों समूहों का औसत:

$$= \frac{G_1 A_1 + G_2 A_2}{G_1 + G_2}$$

👉 घटाव पर औसत:

$$= \frac{G_1 A_1 - G_2 A_2}{G_1 - G_2}$$

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🧠 औसत के प्रकार (Types of Average)

1️⃣ सामान्य औसत (Arithmetic Mean)
सबसे सरल और सबसे ज्यादा उपयोग में आने वाला औसत।
उदाहरण: परीक्षा के अंकों का औसत।

2️⃣ माध्यिका (Median)
संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में रखने पर बीच की संख्या।
उदाहरण: यदि संख्याएँ 10, 20, 30 हैं — माध्यिका = 20

3️⃣ बहुलक (Mode)
सबसे ज्यादा बार आने वाली संख्या।
उदाहरण: 2, 3, 3, 4, 5 में Mode = 3

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 📌 औसत के महत्वपूर्ण सूत्र और उदाहरण

🔹 1. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत

$$\text{औसत} = \frac{n + 1}{2}$$

$$$$

उदाहरण-1: प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

प्राकृतिक संख्याएँ:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

यहाँ  $n=10$ है।

औसत का फार्मूला:

$$\text{औसत}=\frac{n+1}{2}$$

हल:

$$\text{औसत}=\frac{10+1}{2}=\frac{11}{2}=5.5$$

👉 उत्तर: प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का औसत 5.5 है।

उदाहरण-2:  प्रथम 20 प्राकृतिक संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

प्राकृतिक संख्याएँ:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

यहाँ $n=20$ है।

औसत का फार्मूला:

$$\text{औसत}=\frac{n+1}{2}$$

हल:

$$\text{औसत}=\frac{20+1}{2}=\frac{21}{2}=10.5$$

👉 उत्तर: प्रथम 20 प्राकृतिक संख्याओं का औसत 10.5 है।

 

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उदाहरण-3: प्रथम 50 प्राकृतिक संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

प्राकृतिक संख्याएँ:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50

यहाँ $n=50$ है।

औसत का फार्मूला:

$$\text{औसत}=\frac{n+1}{2}$$

हल:

$$\text{औसत}=\frac{50+1}{2}=\frac{51}{2}=25.5$$

👉 उत्तर: प्रथम 50 प्राकृतिक संख्याओं का औसत 25.5 है।

 

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 🔹 2. लगातार n पूर्ण संख्याओं का औसत

$$\text{औसत} = \frac{\text{पहली संख्या + अंतिम संख्या}}{2}$$

$$$$

🌟 उदाहरण 1: 5 से 15 तक की पूर्ण संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

पहली संख्या = 5
अंतिम संख्या = 15

हल:$$\text{औसत}=\frac{5+15}{2}=\frac{20}{2}=10$$

👉 उत्तर: औसत = 10

🌟 उदाहरण 2: 12 से 32 तक की पूर्ण संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

पहली संख्या = 12
अंतिम संख्या = 32

हल:

$$\text{औसत}=\frac{12+32}{2}=\frac{44}{2}=22$$

👉 उत्तर: औसत = 22

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🌟 उदाहरण 3:50 से 100 तक की पूर्ण संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

पहली संख्या = 50
अंतिम संख्या = 100

हल:

$$\text{औसत}=\frac{50+100}{2}=\frac{150}{2}=75$$

👉 उत्तर: औसत = 75

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🔹 3. n तक की सम संख्याओं का औसत

$$\text{औसत} = \frac{n + 2}{2}$$

🌟 उदाहरण 1: 2 से 20 तक की सम संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

यहाँ $n=20$ है।

हल:

$$\text{औसत}=\frac{20+2}{2}=\frac{22}{2}=11$$

👉 उत्तर: औसत = 11

🌟 उदाहरण 2:2 से 50 तक की सम संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

यहाँ $n=50$ है।

हल:

$$\text{औसत}=\frac{50+2}{2}=\frac{52}{2}=26$$

👉 उत्तर: औसत = 26

🌟 उदाहरण 3: 2 से 100 तक की सम संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

यहाँ $n=100$ है।

हल:

$$\text{औसत}=\frac{100+2}{2}=\frac{102}{2}=51$$

👉 उत्तर: औसत = 51

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🔹 4. लगातार n तक की विषम संख्याओं का औसत

$$\text{औसत} = \frac{n + 1}{2}$$

🌟 उदाहरण 1: 1 से 19 तक की विषम संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

यहाँ $n=19$ है।

हल:

$$\text{औसत}=\frac{19+1}{2}=\frac{20}{2}=10$$

👉 उत्तर: औसत = 10

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🌟 उदाहरण 2: 1 से 49 तक की विषम संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

यहाँ $n=49$ है।

हल:

$$\text{औसत}=\frac{49+1}{2}=\frac{50}{2}=\mathrm{25 }$$

👉 उत्तर: औसत = 25

🌟 उदाहरण 3:1 से 99 तक की विषम संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।

यहाँ $n=99$ है।

हल:

$$\text{औसत}=\frac{99+1}{2}=\frac{100}{2}=50$$

👉 उत्तर: औसत = 50

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🔹 5. n तक विषम संख्याओं का औसत

$$\text{औसत} = n$$

🌟 उदाहरण 1: पहले $5$ विषम संख्याओं का औसत क्या होगा?

    हल:   औसत = $n=5$

👉 उत्तर: औसत = 5

🌟 उदाहरण 2: $\mathrm{पहले }$$8$ विषम संख्याओं का औसत क्या होगा?

    हल:    औसत = $n=\mathrm{8\; <br>}$

👉 उत्तर: औसत = 8

🌟 उदाहरण 3:$\mathrm{पहले}$$15$ विषम संख्याओं का औसत क्या होगा?

    हल:   औसत = $n=15$

👉 उत्तर: औसत = 15

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🔹 6. लगातार n तक सम संख्याओं का औसत

$$\text{औसत} = n + 1$$

🌟 उदाहरण 1: यदि लगातार सम संख्याएँ 2, 4, 6, 8  दी गई हैं।

हल:
औसत = $n+1=4+1=5$

👉 उत्तर: औसत = 5

🌟 उदाहरण 2:  यदि लगातार सम संख्याएँ 2, 4, 6, 8, 10, 12  दी गई हैं।

हल:
औसत = $n+1=6+1=7$

👉 उत्तर: औसत = 7

🌟 उदाहरण 3: यदि लगातार सम संख्याएँ 2, 4, 6, 8, 10, 12  दी गई हैं?

हल:
औसत = $n+1=10+1=11$

👉 उत्तर: औसत = 11

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🔹 7. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत

$$\text{औसत} = \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6}$$

🎯 उदाहरण 1: प्रथम 3 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत क्या होगा?

हल:   यहाँ $n=3$ है।

$$\text{औसत}=\frac{(3+1)(2\times 3+1)}{6}$$ $$=\frac{4\times 7}{6}$$$$=\frac{28}{6}=4.6667$$

✅ उत्तर: $4.6667$

🎯 उदाहरण 2: प्रथम 5 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत निकालिए।

हल:   यहाँ $n=5$ है।

$$\text{औसत}=\frac{(5+1)(2\times 5+1)}{6}$$ $$=\frac{6\times 11}{6}$$$$=11$$

✅ उत्तर: $11$

🎯 उदाहरण 3: प्रथम 7 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत क्या होगा?

हल:     यहाँ $n=7$ है।

$$\text{औसत}=\frac{(7+1)(2\times 7+1)}{6}$$ $$=\frac{8\times 15}{6}$$$$=\frac{120}{6}$$$$=20$$

✅ उत्तर: $20$

$\mathrm{<br>}$

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🔹 8. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत

$$\text{औसत} = \frac{n(n + 1)^2}{4}$$

🎯 उदाहरण 1: प्रथम 2 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत क्या होगा?

हल:  यहाँ $n=2$ है।

$$\text{औसत}=\frac{2(2+1{)}^2}{4}$$ $$=\frac{2\times 3^2}{4}$$$$=\frac{2\times 9}{4}$$ $$=\frac{18}{4}=4.5$$

✅ उत्तर: $4.5$

🎯 उदाहरण 2: प्रथम 3 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत निकालिए।

हल:   यहाँ $n=\mathrm{3 }$ है।

$$\text{औसत}=\frac{3(3+1{)}^2}{4}$$ $$=\frac{3\times 4^2}{4}$$$$=\frac{3\times 16}{4}$$$$=\frac{48}{4}=12$$

✅ उत्तर: $12$

🎯 उदाहरण 3: प्रथम 4 प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत क्या होगा?

हल:   यहाँ $n=4$ है।

$$\text{औसत}=\frac{4(4+1{)}^2}{4}$$ $$=\frac{4\times 5^2}{4}$$ $$=\frac{4\times 25}{4}$$ $$=25$$

✅ उत्तर: $\mathrm{25\; <br>}$

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💡 औसत से जुड़ी विशेष ट्रिक्स

1️⃣ यदि n क्रमागत सम या विषम संख्याओं का औसत $x$ हो —
👉 सबसे छोटी संख्या = $x\text{–}(n\text{–}1)$
👉 सबसे बड़ी संख्या = $x+(n\text{–}1)$

🎯 उदाहरण 1: 5 क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 15 है। सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:  यहाँ $n = 5$ और $x=\mathrm{15 }$ है।

👉 सबसे छोटी संख्या:

$$= 15 - (5 - 1)$$$$= 15 - 4 = 11$$

👉 सबसे बड़ी संख्या:

$$= 15 + (5 - 1)$$$$= 15 + 4 = 19$$

✅ उत्तर:
सबसे छोटी संख्या = 11
सबसे बड़ी संख्या = 19

🎯 उदाहरण 2: 7 क्रमागत सम संख्याओं का औसत 20 है। सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या क्या होगी?

हल:  यहाँ $n = 7$ और $x = 20$है।

👉 सबसे छोटी संख्या:

$$= 20 - (7 - 1)$$$$= 20 - 6 = 14$$

👉 सबसे बड़ी संख्या:

$$= 20 + (7 - 1)$$$$= 20 + 6 = 26$$

✅ उत्तर:
सबसे छोटी संख्या = 14
सबसे बड़ी संख्या = 26

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2️⃣ किसी संख्या x के लगातार n गुणजों का औसत

$$\text{औसत} = x \times \frac{(n + 1)}{2}$$ 

🎯 उदाहरण 1: संख्या 3 के पहले 4 गुणजों का औसत ज्ञात कीजिए।

हल:  यहाँ $x=\mathrm{3 }$ और $n = 4$ है।

$$\text{औसत} = 3 \times \frac{(4 + 1)}{2}$$ $$= 3 \times \frac{5}{2}$$$$= \frac{15}{2} = 7.5$$

✅ उत्तर: औसत = 7.5

🎯 उदाहरण 2: संख्या 5 के पहले 6 गुणजों का औसत ज्ञात कीजिए।

हल:  यहाँ $x = 5$और $n = 6$ है।

$$\text{औसत} = 5 \times \frac{(6 + 1)}{2}$$$$= 5 \times \frac{7}{2}$$$$= \frac{35}{2} = 17.5$$

✅ उत्तर: औसत = 17.5

🎯 उदाहरण 3: संख्या 4 के पहले 8 गुणजों का औसत क्या होगा?

हल:   यहाँ $x=\mathrm{4 }$ और $n=\mathrm{8 }$ है।

$$\text{औसत} = 4 \times \frac{(8 + 1)}{2}$$$$= 4 \times \frac{9}{2}$$ $$= 18$$

✅ उत्तर: औसत = 18

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3️⃣ दो समूहों $n_{\mathrm{1 }}$ और $n_2$ के औसत क्रमशः $x_1$ और $x_2$ हों —
कुल औसत:

$$= \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2}{n_1 + n_2}$$ 

 उदाहरण 1️⃣

कक्षा A में 20 छात्रों का औसत अंक 75 है।
कक्षा B में 30 छात्रों का औसत अंक 65 है।

कुल औसत अंक = ?

$$\text{कुल औसत} = \frac{20 \times 75 + 30 \times 65}{20 + 30}$$ $$= \frac{1500 + 1950}{50}$$$$= \frac{3450}{50} = 69$$

✅ उत्तर: कुल औसत अंक = 69 अंक।

उदाहरण 2️⃣ एक कंपनी के पहले विभाग में 40 कर्मचारी हैं, जिनका औसत वेतन ₹25,000 है। दूसरे विभाग में 60 कर्मचारी हैं, जिनका औसत वेतन ₹30,000 है।

कुल औसत वेतन = ?

$$\text{कुल औसत} = \frac{40 \times 25000 + 60 \times 30000}{40 + 60}$$$$= \frac{1000000 + 1800000}{100}$$$$= \frac{2800000}{100} = ₹28,000$$

✅ उत्तर: कुल औसत वेतन ₹28,000 है।

उदाहरण 3️⃣ एक गांव में दो वर्ग हैं। पहले वर्ग में 50 लोगों की औसत आय ₹15,000 है। दूसरे वर्ग में 70 लोगों की औसत आय ₹20,000 है।

कुल औसत आय = ?

$$\text{कुल औसत} = \frac{50 \times 15000 + 70 \times 20000}{50 + 70}$$$$= \frac{750000 + 1400000}{120}$$$$= \frac{2150000}{120} = 17916.67$$

✅ उत्तर: कुल औसत आय = ₹17,916.67

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4️⃣[A] यदि n वस्तुओं का औसत $x$ है और एक नई वस्तु जोड़ी जाए, औसत $y$ बन जाए:
👉 नई वस्तु का मान:

$$= n(y - x) + y$$ 

उदाहरण 1️⃣ 10 छात्रों का औसत अंक 72 है। जब एक नया छात्र जुड़ता है तो औसत बढ़कर 74 हो जाता है।

नए छात्र के अंक = ?

$$\text{नई वस्तु} = 74(10 + 1) - 72 \times 10$$$$= 74 \times 11 - 720$$$$= 814 - 720 = 94$$

✅ उत्तर: नए छात्र के अंक = 94

उदाहरण 2️⃣ 15 मशीनों का औसत उत्पादन 120 यूनिट है। एक और मशीन जोड़ने पर औसत उत्पादन बढ़कर 125 यूनिट हो जाता है।

नई मशीन का उत्पादन = ?

$$\text{नई वस्तु} = 125(15 + 1) - 120 \times 15$$ $$= 125 \times 16 - 1800$$ $$= 2000 - 1800 = 200$$

✅ उत्तर: नई मशीन का उत्पादन = 200 यूनिट

उदाहरण 3️⃣ 8 किताबों का औसत पृष्ठ संख्या 150 है। एक और किताब जोड़ने से औसत बढ़कर 155 हो जाता है।

नई किताब में कितने पृष्ठ हैं?

$$\text{नई वस्तु} = 155(8 + 1) - 150 \times 8$$ $$= 155 \times 9 - 1200$$ $$= 1395 - 1200 = 195$$

✅ उत्तर: नई किताब में 195 पृष्ठ हैं।

4️⃣[B] यदि $n$ वस्तुओं का औसत $x$ है, और एक वस्तु हटाने पर औसत $y$ हो जाता है:
👉 हटाई गई वस्तु का मान:  =nx−y(n−1)

उदाहरण 1️⃣10 छात्रों के अंक का औसत 70 था। जब एक छात्र का अंक हटा दिया गया तो औसत घटकर 68 हो गया।

हटाए गए छात्र के अंक = 10×70−68×9

=700−612

=88

✅ उत्तर: हटाए गए छात्र के अंक = 88 अंक।

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उदाहरण 2️⃣ 8 दोस्तों के खर्च का औसत ₹5000 है। जब एक दोस्त के खर्च को हटाया गया तो औसत ₹4800 हो गया।

हटाए गए खर्च = 8×5000−4800×7  

= 40000−33600

          = 6400

✅ उत्तर: हटाए गए खर्च = ₹6,400

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उदाहरण 3️⃣12 मशीनों का औसत उत्पादन 150 यूनिट था। एक मशीन हटाने पर औसत घटकर 145 यूनिट हो गया।

हटाई गई मशीन का उत्पादन =12×150−145×11

     =1800−1595

      =205

✅ उत्तर: हटाई गई मशीन का उत्पादन = 205 यूनिट।

 

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5️⃣ यदि कोई वस्तु हटाई जाए और नया औसत $y$ हो जाए:
👉 हटाई गई वस्तु का मान:

$$= n(x - y) + y$$ 

उदाहरण 1️⃣10 छात्रों का औसत अंक 75 है। जब एक छात्र का अंक हटा दिया गया तो औसत घटकर 74 हो गया।

हटाए गए छात्र के अंक = ?

=10(75−74)+74

=10(1)+74

=10+74

=84-

✅ उत्तर: हटाए गए छात्र के अंक = 84 अंक।

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उदाहरण 2️⃣8 मशीनों का औसत उत्पादन 120 यूनिट था। एक मशीन हटाने पर औसत घटकर 115 यूनिट हो गया।

हटाई गई मशीन का उत्पादन = ?

=8(120−115)+115

=8(5)+115

=40+115

=155

✅ उत्तर: हटाई गई मशीन का उत्पादन = 155 यूनिट।

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उदाहरण 3️⃣12 विद्यार्थियों का औसत स्कोर 60 था। जब एक विद्यार्थी का स्कोर हटाया गया तो औसत घटकर 58 हो गया।

हटाए गए स्कोर = ?

=12(60−58)+58

=12(2)+58

=24+58

=82

✅ उत्तर: हटाए गए विद्यार्थी का स्कोर = 82 अंक।

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6️⃣ औसत चाल निकालने का फॉर्मूला:

$$= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$$ 

✅ उदाहरण 1️⃣ रमेश ने 120 किलोमीटर की दूरी 3 घंटे में तय की।

औसत चाल = ?

$$\text{औसत चाल} = \frac{120}{3} = \boxed{40 \text{ km/h}}$$ 

✅ उदाहरण 2️⃣एक कार ने पहले 60 किलोमीटर की दूरी 1.5 घंटे में तय की और फिर 90 किलोमीटर की दूरी 2 घंटे में तय की।

कुल दूरी = 60 + 90 = 150 km
कुल समय = 1.5 + 2 = 3.5 घंटे

$$\text{औसत चाल} = \frac{150}{3.5} = \boxed{42.86 \text{ km/h (लगभग)}}$$ 

✅ उदाहरण 3️⃣एक ट्रेन ने 200 किलोमीटर की दूरी 4 घंटे में तय की और अगली 100 किलोमीटर की दूरी 1.5 घंटे में तय की।

कुल दूरी = 200 + 100 = 300 km
कुल समय = 4 + 1.5 = 5.5 घंटे

$$\text{औसत चाल} = \frac{300}{5.5} = \boxed{54.55 \text{ km/h (लगभग)}}$$

 

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7️⃣ संख्याओं का अंतर बराबर हो तो औसत:

$$= \frac{\text{पहली संख्या + अंतिम संख्या}}{2}$$ 

✅ उदाहरण 1️⃣ संख्याएँ: 5, 10, 15, 20, 25
यहाँ पहली संख्या = 5, अंतिम = 25

$$\text{औसत} = \frac{5 + 25}{2} = \frac{30}{2} = \boxed{15}$$

✅ उदाहरण 2️⃣ संख्याएँ: 12, 17, 22, 27, 32, 37
पहली संख्या = 12, अंतिम = 37

$$\text{औसत} = \frac{12 + 37}{2} = \frac{49}{2} = \boxed{24.5}$$ 

✅ उदाहरण 3️⃣ संख्याएँ: 100, 90, 80, 70
यहाँ अंतर -10 है, पर समान है। पहली = 100, अंतिम = 70

$$\text{औसत} = \frac{100 + 70}{2} = \frac{170}{2} = \boxed{85$$

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8️⃣ यदि $G_1$ और $G_2$ राशियों का औसत क्रमशः $A_1$ और $A_2$ हो —
👉 दोनों समूहों का औसत:

$$= \frac{G_1 A_1 + G_2 A_2}{G_1 + G_2}$$

👉 घटाव पर औसत:

$$= \frac{G_1 A_1 - G_2 A_2}{G_1 - G_2}$$ 

✅ उदाहरण 1️⃣ (संयुक्त औसत) एक स्कूल के कक्षा A में 30 छात्रों का औसत अंक 70 है, और कक्षा B में 20 छात्रों का औसत अंक 80 है। $$\text{संयुक्त औसत}=\frac{30\times 70+20\times 80}{30+20}$$$$<br>$$$$$$$$\; =\frac{2100+1600}{50}$$$$$$
$$$$$$\text{संयुक्त औसत} = \frac{30 \times 70 + 20 \times 80}{30 + 20} = \frac{2100 + 1600}{50} = \frac{3700}{50} = \boxed{74}$$

✅ उदाहरण 2️⃣ (संयुक्त औसत) एक फैक्ट्री के दो विभाग हैं: पहले में 40 कर्मचारी हैं, औसत वेतन ₹25,000 है। दूसरे में 60 कर्मचारी हैं, औसत वेतन ₹30,000 है।

$$\text{संयुक्त औसत}=\frac{40\times 25000+60\times 30000}{40+60}$$$$$$$$<br>$$$$\; =\frac{1000000+1800000}{100}$$$$<br>$$$$$$$$\text{संयुक्त औसत} = \frac{40 \times 25000 + 60 \times 30000}{40 + 60} = \frac{1000000 + 1800000}{100} = \frac{2800000}{100} = \boxed{₹28,000}$$

 

🔢 फार्मूला 2: घटाव पर औसत

अगर $G_1$ और $G_2$ दो समूहों की संख्याएँ हैं, और उनके औसत $A_1$ और $A_2$, तो उनके औसत का घटाव (Difference Average) होगा:

$$\text{घटाव पर औसत} = \frac{G_1 A_1 - G_2 A_2}{G_1 - G_2}$$

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✅ उदाहरण 3️⃣ (घटाव पर औसत)  एक स्कूल में : 60 सीनियर छात्रों  का औसत अंक 85 और 40 जूनियर छात्रों का औसत अंक 70 है ।

अब मान लीजिए हम अंतर का औसत निकालना चाहते हैं (यानी सीनियर्स का औसत कितना ज़्यादा है):

$$=\frac{60\times 85-40\times 70}{60-40}$$$$$$$$$$
$$=\frac{5100-2800}{20}$$$$$$$$$$
$$= \frac{60 \times 85 - 40 \times 70}{60 - 40} = \frac{5100 - 2800}{20} = \frac{2300}{20} = \boxed{115}$$

📝 मतलब: जब दो समूहों में अंतर हो, और हम यह जानना चाहें कि "फर्क कितना है औसतन", तो यह फॉर्मूला काम आता है।

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📘 औसत से संबंधित प्रश्नोत्तरी (Total Marks: 50)

प्रश्न 01: पाँच छात्रों के अंक हैं: 45, 56, 67, 70, 62। औसत ज्ञात कीजिए। 

 

प्रश्न 02: किसी व्यक्ति ने 5 दिनों में 1000, 1200, 1100, 900, और 1300 रुपये खर्च किए। औसत खर्च क्या रहा?

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प्रश्न 03: एक क्लास के 30 छात्रों का औसत 65 है, दूसरी क्लास के 20 छात्रों का औसत 75 है। दोनों क्लास का संयुक्त औसत ज्ञात कीजिए। 

 

प्रश्न 04: एक टीम के दो ग्रुप हैं: 10 खिलाड़ी (औसत 80 रन), और 15 खिलाड़ी (औसत 70 रन)। संयुक्त औसत रन क्या है? 

 

प्रश्न 05: 6 विद्यार्थियों का औसत स्कोर 60 है। सातवें विद्यार्थी के जुड़ने पर औसत 62 हो गया। नए विद्यार्थी का स्कोर बताइए। 

 

प्रश्न 06: 4 दोस्तों का औसत खर्च ₹1500 था। पाँचवे दोस्त के आने से औसत ₹1600 हो गया। पाँचवे का खर्च कितना था? 

 

प्रश्न 07: 10 छात्रों का औसत 70 था, एक छात्र को हटाने के बाद औसत 68 हो गया। हटाए गए छात्र के अंक क्या थे?

 

प्रश्न 08: 8 कर्मचारियों का औसत वेतन ₹20,000 था। एक को हटाने के बाद औसत ₹19,000 हो गया। हटाए गए कर्मचारी का वेतन ज्ञात कीजिए। 

 

प्रश्न 09: 7 मशीनों का औसत उत्पादन 100 यूनिट था। एक मशीन हटाने पर औसत 95 हो गया। हटाई गई मशीन का उत्पादन बताइए। 

 

प्रश्न 10: 12 छात्रों का औसत 75 था, एक छात्र के हटने पर औसत 73 हो गया। उस छात्र का स्कोर बताइए।

 

प्रश्न 11: एक व्यक्ति ने 120 किमी 2 घंटे में और फिर 80 किमी 1.5 घंटे में तय किए। औसत चाल ज्ञात कीजिए। 

 

प्रश्न 12: एक बस ने 240 किमी की दूरी 4 घंटे में तय की। उसकी औसत चाल क्या थी?

 

प्रश्न 13: संख्याएँ: 10, 20, 30, 40, 50 औसत ज्ञात कीजिए। 

 

प्रश्न 14: संख्याएँ: 5, 9, 13, 17, 21, 25 औसत क्या होगा?

 

प्रश्न 15: एक स्कूल के 60 छात्रों का औसत अंक 80 है और दूसरे स्कूल के 40 छात्रों का औसत अंक 60 है। औसत का घटाव बताइए। 

 

प्रश्न 16: एक कम्पनी के दो ब्रांच हैं, एक में 50 कर्मचारी (औसत वेतन ₹40,000) और दूसरे में 30 कर्मचारी (औसत ₹35,000)। औसत घटाव निकालिए।$$

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🎉 निष्कर्ष (Conclusion)

औसत गणित का बहुत जरूरी और आसान टॉपिक है। इससे हम समझ सकते हैं कि समूह में "सामान्य" स्थिति क्या है।
स्कूल की परीक्षा से लेकर बैंकिंग, व्यापार, क्रिकेट और रोज़मर्रा की ज़िंदगी में औसत का उपयोग हर जगह होता है।

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