संख्याएँ गणित की आत्मा होती हैं, और इनका सही ज्ञान आपके गणित को और भी आसान और मजबूत बना देता है।
तो चलिए जानते हैं — संख्याएँ कितनी प्रकार की होती हैं और इनके उदाहरण क्या हैं।
1️⃣ प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers)
प्राकृतिक संख्याएँ वे होती हैं, जो गिनती में उपयोग होती हैं।
ये संख्याएँ हमेशा 1 से शुरू होती हैं और अनंत तक जाती हैं।
उदाहरण: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
👉 ध्यान दें:
शून्य (0) को प्राकृतिक संख्याओं में शामिल नहीं किया जाता।
2️⃣ सम संख्याएँ (Even Numbers)
वे संख्याएँ जो 2 से पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं, सम संख्याएँ कहलाती हैं।
इनका अंतिम अंक हमेशा 0, 2, 4, 6 या 8 होता है।
उदाहरण: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
👉 टिप्स:
हर सम संख्या को हम 2 से गुणा करके लिख सकते हैं। जैसे: 2×1=2, 2×2=4, 2×3=6...
3️⃣ विषम संख्याएँ (Odd Numbers)
ऐसी संख्याएँ जो 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होतीं, विषम संख्याएँ कहलाती हैं।
इनका अंतिम अंक हमेशा 1, 3, 5, 7 या 9 होता है।
उदाहरण: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
4️⃣ पूर्णांक संख्याएँ (Integers)
पूर्णांक में सभी धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य शामिल होते हैं।
ये संख्याएँ संख्या रेखा पर दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती हैं।
उदाहरण: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
5️⃣ पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers)
पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं का ही विस्तारित रूप हैं, जिनमें शून्य (0) को भी शामिल किया जाता है।
यह हमेशा 0 से शुरू होती हैं।
उदाहरण: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
6️⃣ भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers)
ऐसी संख्याएँ जिनके एक से अधिक भाजक होते हैं, उन्हें भाज्य संख्याएँ कहा जाता है।
यह हमेशा 1 और स्वयं के अलावा अन्य संख्याओं से भी विभाजित हो जाती हैं।
उदाहरण: 4, 6, 8, 9, 10, 12, ...
7️⃣ अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers)
ऐसी संख्याएँ जो केवल 1 और खुद से ही विभाजित होती हैं, अभाज्य कहलाती हैं।
ये संख्याएँ गणित में बहुत महत्वपूर्ण होती हैं।
उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
👉 महत्वपूर्ण:
2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
8️⃣ सहअभाज्य संख्याएँ (Co-Prime Numbers)
दो संख्याएँ सहअभाज्य (Co-prime) तब कहलाती हैं जब उनका सबसे बड़ा समान भाजक (HCF) केवल 1 हो।
जरूरी नहीं कि दोनों संख्याएँ अभाज्य हों, बस उनके बीच कोई समान भाजक नहीं होना चाहिए।
उदाहरण: (5,7), (2,3), (8,9), ...
⚙️ समझने का तरीका:
संख्या: 6 और 9
8 के गुणनखण्ड → 1, 2, 4, 8
9 के गुणनखण्ड → 1, 3, 9
इनमें 1 दोनों सामान्य हैं, यानी HCF = 1 तो ये सहअभाज्य हैं।
💡 कुछ बातें याद रखने योग्य:
[i] लगातार आने वाली दो संख्याएँ (जैसे 14 और 15, 8 और 9) हमेशा सहअभाज्य होती हैं।
[ii] 1 हर संख्या के साथ सहअभाज्य होता है।
[iii] दो अभाज्य संख्याएँ (prime numbers) हमेशा सहअभाज्य होती हैं (जैसे 3 और 5)।
[iv] दो संख्याएँ सहअभाज्य हो सकती हैं, भले ही वे अभाज्य न हों।
🧠 संक्षेप में याद रखो:
“अगर दो संख्याओं का HCF = 1 है 👉 वे सहअभाज्य हैं।”
9️⃣ परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)
ऐसी संख्याएँ जो p/q के रूप में लिखी जा सकती हैं, जहाँ p और q पूर्णांक हों और q ≠ 0 हो।
ये संख्याएँ दशमलव में समाप्त या पुनरावृत्त हो सकती हैं।
उदाहरण: √4 (=2), 7/5, 2/3, 3...
🔟 अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)
ऐसी संख्याएँ जो p/q के रूप में नहीं लिखी जा सकतीं। इनका दशमलव रूप कभी समाप्त नहीं होता और न ही दोहराता है।
उदाहरण: √5, √7, √11, √13...
1️⃣1️⃣ वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)
वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय दोनों का समूह होती हैं। ये संख्या रेखा पर कहीं भी स्थित हो सकती हैं।
उदाहरण: √4 (=2), √11, 4/7, ...
1️⃣2️⃣ अवास्तविक संख्याएँ (Imaginary Numbers)
ऐसी संख्याएँ जो √-1 पर आधारित होती हैं, अवास्तविक कहलाती हैं। गणित की उच्च स्तरीय गणनाओं में इनका विशेष उपयोग होता है।
उदाहरण: √-6, √-5, i (जहाँ i = √-1)
🧮 संख्याओं पर आधारित 40 महत्वपूर्ण प्रश्न और उत्तर
🔹 (1) प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers)
प्रश्न 1: प्राकृतिक संख्याएँ किस संख्या से शुरू होती हैं?
उत्तर: 1 से
प्रश्न 2: क्या 0 एक प्राकृतिक संख्या है?
उत्तर: नहीं
प्रश्न 3: 1 से 10 तक की प्राकृतिक संख्याएँ लिखिए।
उत्तर: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
प्रश्न 4: क्या प्राकृतिक संख्याएँ सीमित हैं या अनंत?
उत्तर: अनंत
प्रश्न 5: सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या कौन-सी है?
उत्तर: 1
🔹 (2) सम संख्याएँ (Even Numbers)
प्रश्न 6: 2 से पूरी तरह विभाजित होने वाली संख्याएँ क्या कहलाती हैं?
उत्तर: सम संख्याएँ
प्रश्न 7: 10 तक की सभी सम संख्याएँ लिखिए।
उत्तर: 2, 4, 6, 8, 10
प्रश्न 8: किसी भी सम संख्या के अंतिम अंक क्या हो सकते हैं?
उत्तर: 0, 2, 4, 6, 8
प्रश्न 9: क्या 0 एक सम संख्या है?
उत्तर: हाँ
प्रश्न 10: 2 से गुणा करने पर बनने वाली संख्याओं को क्या कहते हैं?
उत्तर: सम संख्याएँ
🔹 (3) विषम संख्याएँ (Odd Numbers)
प्रश्न 11: 2 से विभाजित न होने वाली संख्याएँ क्या कहलाती हैं?
उत्तर: विषम संख्याएँ
प्रश्न 12: 1 से 15 तक की विषम संख्याएँ लिखिए।
उत्तर: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
प्रश्न 13: क्या 7 एक विषम संख्या है?
उत्तर: हाँ
प्रश्न 14: विषम संख्या का अंतिम अंक किन अंकों में से होता है?
उत्तर: 1, 3, 5, 7, 9
प्रश्न 15: क्या दो विषम संख्याओं का योग सम संख्या होता है?
उत्तर: हाँ
🔹 (4) पूर्णांक (Integers)
प्रश्न 16: पूर्णांक में कौन-कौन सी संख्याएँ आती हैं?
उत्तर: ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... (ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक संख्याएँ)
प्रश्न 17: क्या पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं?
उत्तर: हाँ
प्रश्न 18: 0 का स्थान पूर्णांकों में कहाँ होता है?
उत्तर: ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं के बीच
प्रश्न 19: -5 से +5 तक की संख्याएँ लिखिए।
उत्तर: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
प्रश्न 20: क्या पूर्णांक सीमित हैं?
उत्तर: नहीं, पूर्णांक अनंत हैं
🔹 (5) पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers)
प्रश्न 21: पूर्ण संख्याएँ किससे शुरू होती हैं?
उत्तर: 0 से
प्रश्न 22: क्या सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ हैं?
उत्तर: हाँ
प्रश्न 23: क्या सभी पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं?
उत्तर: नहीं (0 पूर्ण संख्या है, लेकिन प्राकृतिक संख्या नहीं)
प्रश्न 24: पूर्ण संख्याओं का सबसे छोटा सदस्य कौन है?
उत्तर: 0
प्रश्न 25: क्या 0 एक पूर्ण संख्या है?
उत्तर: हाँ
🔹 (6) भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers)
प्रश्न 26: ऐसी कौन-सी संख्याएँ हैं जिनके दो से अधिक भाजक होते हैं?
उत्तर: भाज्य संख्याएँ
प्रश्न 27: सबसे छोटी भाज्य संख्या कौन है?
उत्तर: 4
प्रश्न 28: क्या 9 एक भाज्य संख्या है?
उत्तर: हाँ
प्रश्न 29: 4 और 6 के भाजक लिखिए।
उत्तर:
4 के भाजक: 1, 2, 4
6 के भाजक: 1, 2, 3, 6
प्रश्न 30: क्या 1 एक भाज्य संख्या है?
उत्तर: नहीं
🔹 (7) अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers)
प्रश्न 31: अभाज्य संख्याएँ किनसे विभाजित होती हैं?
उत्तर: केवल 1 और स्वयं संख्या से
प्रश्न 32: सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन-सी है?
उत्तर: 2
प्रश्न 33: क्या 2 एक अभाज्य संख्या है?
उत्तर: हाँ
प्रश्न 34: 1 से 20 तक की अभाज्य संख्याएँ लिखिए।
उत्तर: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
प्रश्न 35: क्या 9 एक अभाज्य संख्या है?
उत्तर: नहीं
🔹 (8) सहअभाज्य संख्याएँ (Co-Prime Numbers)
प्रश्न 36: दो संख्याएँ कब सहअभाज्य कहलाती हैं?
उत्तर: जब उनका HCF (GCD) 1 हो
प्रश्न 37: क्या 8 और 9 सहअभाज्य हैं?
उत्तर: हाँ
प्रश्न 38: क्या दो अभाज्य संख्याएँ हमेशा सहअभाज्य होती हैं?
उत्तर: नहीं, अगर दोनों समान हों तो नहीं
प्रश्न 39: क्या 6 और 9 सहअभाज्य हैं?
उत्तर: नहीं (HCF = 3)
प्रश्न 40: 14 और 15 का HCF क्या है — क्या वे सहअभाज्य हैं?
उत्तर: HCF = 1, हाँ वे सहअभाज्य हैं
